Limit memiliki arti umum sebagai batas ambang dari suatu nilai. Pada bahasan matematika, nilai limit diartikan dalam sebuah definisi nilai limit. Definisi limit menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Sebagai contoh, perhatikan sebuah fungsi f(x) = 2x – 5 dan nilai x mendekati 3. Jika x dekat 3 maka nilai 2x – 5 dekat terhadap 2(3) – 5 = 6 – 5 = 1. Pernyataan tersebut dapat dituliskan dalam notasi limit yaitu nilai limit 2x – 5 untuk x mendekati 3 sama dengan 1. Itu merupakan contoh untuk nilai x yang mendekati suatu nilai. Jika x mendekati nilai tak hingga maka bagaimana nilai limitnya? Tentunya nilainya juga akan dekat dengan tak hingga. Pada contoh nilai f(x) = 2x – 5, jika x dekat tak hingga maka nilai f(x) juga akan mendekati nilai tak hingga.
Semua fungsi dapat dicari nilai limitnya dengan pendekatan yang sama seperti cara tersebut. Misalkan pada sebuah fungsi trigonometri f(x) = cos (1/x). Jika x dekat tak hingga maka nilai f(x) = cos (1/x) akan dekat terhadap cos 0. Hal tersebut dikarenakan nilai 1 dibagi nilai yang sangat besar akan mempunyai nilai pendekatan sama dengan 0. Sehingga, jika x dekat tak hingga maka nilai f(x) = cos (1/x) akan dekat terhadap cos 0. Tidak semua fungsi dapat ditentukan nilai limitnya, contohnya adalah fungsi trigonometri y = cos x. Fungsi cos x memiliki nilai yang periodik. Nilai terbesar cos x adalah 1 dan nilai terkecilnya adalah –1. Nilai cos x = 1 dicapai saat besar sudut x = 0o, 360o, dan besar sudut lain yang dapat menghasilkan nilai cos x = 1. Besar nilai sudut mendekati tak hingga tidak dapat menghasilkan suatu nilai cosinus yang dekat dengan nilai tersebut . Kesimpulannya, jika besar sudut x tak hingga maka nilai limit cos x tidak terdefinisi.
Bentuk soal limit x tak hingga dapat memuat fungsi nilai trigonometri yang lebih rumit dari contoh di atas. Namun, konsep dalam mencari nilai limit sama seperti pendekatan yang diberikan pada contoh – contoh di atas. Sobat idschool perlu memahami konsep mencari nilai untuk x mendekati tak hingga dengan baik. Selain itu, sobat idschool juga perlu mengetahui beberapa tips dan trik yang dapat digunakan untuk mengerjakan soal limit x menuju tak hingga dari fungsi. Bagaimana cara mencari nilai limit x menuju tak hingga dari suatu fungsi trigonometri yang lebih kompleks? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya lebih lanjut melalui ulasan limit x menuju tak hingga dari fungsi trigonometri.
Baca Juga: Pengertian Limit
Cara Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri
Pada bagian awal sudah disinggung sedikit bagaimana nilai limit diperoleh untuk suatu fungsi ketika x mendekati tak hingga. Selanjutnya, bahasan ini akan mengajak sobat idschool mempelajari cara menyelesaikan soal limit tak hingga fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Ingat kembali bagaimana nilai limit ketika x mendekati tak hingga dihasilkan.
Perhatikan sebuah fungsi trigonometri y = cos x/x. Nilai limit dari fungsi trigonometri tersebut untuk x mendekati tak hingga adalah nol. Nilai tersebut diperoleh dengan substitusi nilai tak hingga pada persamaan. Berapapun nilai pembilang, ketika dibagi bilangan yang sangat besar (tak hingga) akan menghasilkan nilai yang mendekati nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika x dekat tak hingga maka nilai cos x/ x akan dekat dengan nol.
Melalui cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya, dapat diperoleh juga nilai limit x menuju tak hingga dari fungsi y = sin x/x. Jika x dekat tak hingga maka nilai sin x/ x akan dekat dengan nol.
Dua persamaan nilai limit sederhana di atas akan cukup membantu dalam mengetahui nilai limit tak hingga dari suatu fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Sebagai contoh, perhatikan cara mendapatkan nilai limit fungsi trigonometri berikut.
Baca Juga: Rumus Cepat Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Untuk Beberapa Jenis Soal Tertentu
Contoh Soal dan Pembahasan
Bentuk soal limit fungsi trigonometri sangat beragam. Namun soal yang beragam tersebut dapat diselesaikan dengan bantuan konsep yang sudah dipelajari di atas dan beberapa teknik mengerjakan. Latihan soal dapat membantu mengukur pemahaman sobat idschool terhadap pemahaman sebuah materi. Selain itu, latihan soal akan menambah perbendaharaan jenis soal yang biasanya diberikan dalam ujian.
Baca Juga: 7 Tips Menentukan Nilai Limit Fungsi pada Suatu Titik
Beberapa contoh soal limit tak hingga dari fungsi trigonometri berikut dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman sobat idschool. Contoh soal dilengkapi dengan pembahasan yang dapat digunakan sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih.
Contoh 1 – Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri
![\[ lim_{x \rightarrow \infty } \frac{sin x^{2}}{x} = .... \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fd6b01eac61065e567e619168c14d23_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A. -2 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91d1bf00fffd7826da05720b5d7c3a40_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[B. -1 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4b1d7b2b6daa822a22926afd4909339_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[C. 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d00e833f1f8cd29a67e12bc9f85b4bf3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[D. 1 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d24da1109c4d295f753a1d54296c4e69_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[E. 2 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84a016ddba550e020d63855d3a913713_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pembahasan:
![\[ lim_{x \rightarrow \infty } \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x \rightarrow \infty } \frac{sin x^{2}}{x^{2}} \times \frac{x}{1} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ebadce989a9c0fc5483815dce5d3066c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = lim_{x \rightarrow \infty } \frac{sin x^{2}}{x^{2}} \times lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x}{1} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8258f5b74d1bf20a7033ac9079f5af68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = 0 \times \infty \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bf31a85608e8c40ba372de8b4d551a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-279775d7f665dc0977160418d420b22d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri
Pembasahan:
![\[ lim_{ x \rightarrow \infty } \frac{sin \frac{2}{x}}{ sin \frac{6}{x}} = lim_{x \rightarrow \infty}\frac{sin 2 \frac{1}{x}}{ sin 6 \frac{1}{x}} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55bbaef5c8d4ce82e4ef82fc286a1608_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Misalkan: α = 1/x → x = 1/ α
Diketahui bahwa nilai x → ∞ maka α → ∞
![\[ lim_{x \rightarrow \infty } \frac{sin 2 \frac{1}{x}}{ sin 6 \frac{1}{x}} = lim_{\alpha \rightarrow 0 } \frac{sin 2 \alpha }{ sin 6 \alpha } \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c5aac75d4d2e5f346f1676790939a6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{2}{6} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d319fec163dfaee8804551d4985416d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{1}{3} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a5d9b583bdabf07122443de7e12fdaf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jawaban: B
Contoh 3 – Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri
Pembahasan:
Jawaban: E
Demikianlah tadi ulasan materi limit x menuju tak hingga dari fungsi trigonometri, disertai contoh soal limit fungsi trigonometri untuk x menuju tak hingga dan cara menyelesaikannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.
Baca Juga: Kumpulan Berbagai Bentuk Soal Limit Fungsi Trigonometri
Sumber gini.com
EmoticonEmoticon